Правила дифференцирования функций. Производная в физике и технике

Действия нахождения производных функций называются дифференцированием функций и выполняются по следующим правилам:

— Производная суммы определенной конечного числа функций равен сумме производных слагаемых.

— Производная разности двух функций равна разности производных уменьшаемого и вычитаемого.

— Производная произведения двух функций равна сумме произведений первой функции на производную второй функции и второй функции на производную первой функции.

Обратите внимание! Множитель является константой (постоянной величиной), можно выносить за символ производной.

Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции.

Производная произведения трех функций равна сумме трех слагаемых, каждый из которых является произведением двух из данных функций на производную третьей функции.

— Производная частного двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числитель — разницы между произведением делителя на производную делимого и произведения, разделенного на производную делителя.

Запомните! Производной дроби, в числителе которой некоторая функция, а в знаменателе константа, является дробь, в числителе которой производная числителя, а в знаменателе та же константа.

Производной дроби, в числителе которой константа, а в знаменателе некоторая функция, является дробь, в числителе которой противоположная константа, умноженная на производную знаменателя заданного дроби, а в знаменателе — квадрат знаменателя заданного дроби.

— Производная сложной функции равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней функции, т.е. производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляют.

Например, если задана функция у = sin2x, то внутренней функцией является тригонометрическая функция синус х, а внешней-степенная функция квадрат синуса х, поэтому производной заданной функции будет произведение степененевои функции и тригонометрической функции, а именно 2 sin x cos x.

Производные функций находят свое применение в физике и технике.

Запомните! Скорость движения тела является производной расстояния как функции времени.

Ускорение движения тела есть производная скорости или вторая производная расстояния как функций времени.

Угловая скорость движения является производной угла как функции времени. Угловое ускорение является производной угловой скорости или второй производной угла как функций времени.

Линейная плотность стержня является производной его массы как функции длины стержня.

Сила тока является производной количества электрического заряда как функции времени.

Теплоемкость является производной количества тепла как функции времени.