Определение производной функции, ее геометрический и физический смысл

Определение производной функции, ее геометрический и физический смысл. Производные основных функций. Производные высших порядков

Производной функции f (x) в точке х0 называется предел (если он существует) отношения приращения функции в точке х0 к приращению аргумента Δх, если прирост аргумента стремится к нулю и обозначается f ‘(x0).

Действие нахождения производной функции называется дифференцированием.

Производная функции имеет такой физический смысл: производная функции в заданной точке — скорость изменения функции в заданной точке.

Производная функции имеет такой геометрический смысл: производная функции в заданной точке является угловым коэффициентом касательной к графику функции в этой точке, т.е. равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в заданной точке.

Запомните!

— Производная функции у = x равна единице;

— Производная степенной функции равен показателю степени, умноженному на основание в степени, на единицу меньшую, (производная функции у = xn равен произведению n и xn-1);

— Производная функции у = 1 / x равен единице, деленной на х2, взятой со знаком минус;

— Производная функции у = √ x для положительных х равна 1 / (2 √ x)

— Производная функции синус х равен косинусу х;

— Производная функции косинус х равен синусу х, взятом со знаком минус;

— Производная функции тангенс х на ее области определения равен единице, деленной на квадрат косинуса х;

— Производная функции котангенс х на ее области определения равен единице, деленной на квадрат синуса х, взятой со знаком минус;

— Производная показательной функции у = ах равен этой функции, умноженной на натуральный логарифм основания ах ∙ ln а;

— Производная функции у = ех равна самой функции, т.е. ех;

— Производная логарифмической функции у = logax на ее области определения равен 1 / (х ∙ ln а);

— Производная функции у = ln x на ее области определения равен наедине, деленной на х.

Можно определить производные высших порядков. Производной n-го порядка (n-ной производной) называется производная от производной (п — 1) порядка.