Наибольшее и наименьшее значения функции

Много практических задач сводятся к нахождению наибольших или наименьших значений некоторых функций на определенных промежутках. Применение производной к таких задач дает общий метод поиска таких значений.

При этом важную роль играет следующее утверждение: если функция непрерывна на некотором промежутке, то среди ее значений на этом промежутке является наибольшее и наименьшее.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке такова:

— Найдите производную функции и ее критические точки;

— Найдите значение функции на концах промежутка;

— Найдите значение функции в критических точках, принадлежащих заданном промежутке;

— Из всех найденных значений функции выберите наибольшее и наименьшее.

Для решения практических задач сначала составляют аналитическое выражение для той функции, с помощью которой одна величина выражается через вторую, после чего находят наибольшее или наименьшее значение полученной функции.

При этом пользуются следующей схеме:

— Выберите одну из переменных (независимую переменную) и составьте через нее функцию (зависимую переменную), для которой находят наибольшее или наименьшее значение;

— Найдите промежуток изменения независимой переменной;

— Найдите производную функции, которую составили;

— Приравняют производную функции к нулю и найдите корни полученного уравнения;

— Найдите точки, в которых производная не существует;

— Найдите значение функции на концах промежутка изменения независимой переменной и в точках, где производная не существует или равна нулю;

— Выберите из найденных значений больше или меньше.

Обратите внимание!

1) Точка, в которой функция приобретает наибольшее или наименьшее значение, не изменяется при следующих преобразованиях выражения, задающего функцию:

— Добавление числа;

— Умножение на отличное от нуля число, но при умножении на отрицательное число наибольшее значение становится маленьким и наоборот;

— Возведение в степень с натуральным показателем, если функция неотъемлемая.

2) Если положительная функция приобретает в некоторой точке наибольшего значения, то функции противоположная и обратная в этой же точке приобретают малейшего значения.

Если положительная функция приобретает в некоторой точке наименьшего значения, то функции противоположная и обратная в этой же точке приобретают наибольшее значение.