Формулы для радиусов вписанного и описанного кругов треугольника

Формулы для радиусов вписанного и описанного кругов треугольника

Если в треугольнике известны его стороны, то всегда можно найти радиус описанной вокруг него окружности и радиус вписанной в него окружности.

Для треугольника со сторонами a, b и c и площадью S справедливы следующие формулы:

R = abc / 4S.

R = 2S / (a + b + c).

В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы R = c / 2, а радиус вписанной окружности равен половине разницы суммы катетов и гипотенузы r = (a + b — c) / 2, где a и b — катеты прямоугольного треугольника, а c — его гипотенуза.

Для треугольника со сторонами a, b, c и радиусом описанной окружности R справедлива формула площади треугольника:

S = abc / 4R, т.е. площадь треугольника равна отношению произведения сторон треугольника к радиусу описанной окружности, увеличенного вчетверо.

Также подтверждается формула:

S = pr, где p — полупериметр треугольника, а r — радиус вписанной окружности. То есть площадь треугольника равна произведению его полупериметр на радиус вписанной окружности.

Для любого многоугольника, в который можно вписать круг, площадь равна произведению половины периметра многоугольника на радиус вписанной окружности.

Запомните! Площадь равностороннего трапеции с взаимно перпендикулярными диагоналями равна квадрату высоты.